Составить уравнение касательной к графику функции y=e^x-x перпендикулярной прямой y=2-2x

Если две прямые перпендикулярны друг другу, то произведение их угловых коэффициентов k1 * k2 = 1.

У прямой y (x) = 2 - 2 * x k1 = - 2, поэтому - 2 * k2 = 1, откуда k2 = - 1/2 - это угловой коэффициент касательной.

С другой стороны, k2 = y' (x0) = (e^x0 - x0) ' = - 1/2.

Находим производную:

y' (x) = e^x - 1.

Находим точку касания:

e^x0 - 1 = - 1/2,

e^x0 = 1/2, откуда x0 = ln (1/2) = - ln 2.

Находим значение функции в точке касания:

y (x0) = 1/2 + ln 2.

Тогда искомое уравнение касательной:

f (x) = - (1/2) * (x + ln 2) + 1/2 + ln 2 = - (1/2) * x + 1/2 + ln √2.