доказать sin (x-y) sin (x+y) = cos^2y-cos^x

1. Для косинуса суммы и разности двух углов существует формулы:

cos (a + b) = cosa * cosb - sina * sinb; (1) cos (a - b) = cosa * cosb + sina * sinb. (2)

2. Сложив и вычтя уравнения (1) и (2), получим:

cos (a + b) + cos (a - b) = 2cosa * cosb; (3) cos (a + b) - cos (a - b) = - 2sina * sinb. (4)

3. Из уравнений (3) и (4) получим формулы для произведения синусов и косинусов двух углов:

cosa * cosb = 1/2 (cos (a + b) + cos (a - b)); (5) sina * sinb = 1/2 (cos (a - b) - cos (a + b)). (6)

4. Преобразуем левую часть тождества, воспользовавшись формулой (6) и формулой для двойного угла косинус:

cos (2a) = 2cos^2 (a) - 1; (7)

sin (x + y) sin (x - y) = 1/2 (cos (2y) - cos (2x)) = 1/2 ((2cos^2 (x) - 1) - (2cos^2 (y) - 1)) = cos^2 (x) - cos^2 (y).

Тождество доказано.