Найдите число, которое при деление на 3, на 5 и на 13 дает в остатке 1

1. Если вычтем из искомого числа x единицу, то полученное число будет делиться на 3, 5 и 13:

x - 1 = 3k1; (1) x - 1 = 5k2; (2) x - 1 = 13k3, (3) где k1, k2 и k3 - произвольные натуральные числа.

2. Поскольку делители 3, 5 и 13 взаимно простые числа, то из уравнений (1), (2) и (3) следует, что x - 1 делится на их произведение:

x - 1 = НОК (3, 5, 13) * k, k ∈ N; x - 1 = (3 * 5 * 13) * k; x - 1 = 195k; x = 195k + 1.

3. Наименьшее число, удовлетворяющее условию задачи, получим при k = 1:

x = 195 * 1 + 1 = 196.

Ответ: 196.