Упростить выражение: (cos2α-cos6α+cos10α-cos14α) / (sin2α+sin6α+sin10α+sin14α)

Преобразуем первую скобку при помощи формулы разности косинусов:

cos (α) - cos (β) = 2∙sin[ (α + β) / 2]∙sin[ (β - α) / 2]

cos2α - cos6α = 2∙sin[ (2α + 6α) / 2]∙sin[ (6α - 2α) / 2];

cos2α - cos6α = 2∙sin (4α) ∙sin (2α);

cos10α - cos14α = 2∙sin[ (10α + 14α) / 2]∙sin[ (14α - 10α) / 2];

cos10α - cos14α = 2∙sin (12α) ∙sin (2α);

2∙sin (4α) ∙sin (2α) + 2∙sin (12α) ∙sin (2α) =

= 2∙sin (2α) ∙[sin (4α) + sin (12α) ].

Преобразуем вторую скобку при помощи формулы суммы синусов:

sin (α) ± sin (β) = 2∙sin[ (α ± β) / 2]∙cos[ (α ∓ β) / 2].

sin6α + sin2α = 2∙sin[ (6α + 2α) / 2]∙cos[ (6α - 2α) / 2];

sin6α + sin2α = 2∙sin (4α) ∙cos (2α);

sin14α + sin10α = 2∙sin[ (14α + 10α) / 2]∙cos[ (14α - 10α) / 2];

sin14α + sin10α = 2∙sin (12α) ∙cos (2α);

2∙sin (4α) ∙cos (2α) + 2∙sin (12α) ∙cos (2α) =

= 2∙cos (2α) [sin (4α) + sin (12α) ].

Сократим получившуюся дробь:

2∙sin (2α) ∙[sin (4α) + sin (12α) ]/2∙cos (2α) [sin (4α) + sin (12α) ] ⇔

⇔ sin (2α) / cos (2α) ⇔

⇔ tg (2α)

Ответ: (cos2α - cos6α + cos10α - cos14α) : (sin2α + sin6α + sin10α + sin14α) = tg (2α).