При каком значении параметра k система уравнений { y-x^2=4 { x^2+y^2=k имеет а) одно решение; б) три решения?

1. Решим систему:

{y - x^2 = 4;

{x^2 + y^2 = k; {y = x^2 + 4;

{x^2 + (x^2 + 4) ^2 = k; {y = x^2 + 4;

{x^4 + 9x^2 - (k - 16) = 0.

2. Обозначим:

x^2 = z; (1) x^4 + 9x^2 - (k - 16) = 0; z^2 + 9z - (k - 16) = 0. (2)

3. Если уравнение (2) не имеет нулевого решения, то из уравнения (1) следует, что количество корней - четное число, следовательно, ни одно из условий задачи не может быть выполнено, значит, z = 0 является решением уравнения:

0^2 + 9 * 0 - (k - 16) = 0; - k + 16 = 0; k = 16.

Получим уравнение:

z^2 + 9z = 0; x^4 + 9x^2 = 0; x^2 (x^2 + 9) = 0; x = 0; y = x^2 + 4 = 4;

(0; 4) - единственное решение уравнения.

Ответ:

a) k = 16; b) нет такого значения параметра.