При каком значении параметра b система уравнений x^2+y=b; x^2+y^2=5 имеет: а) одно решение; б) три решения?

1. Решим параметрическую систему уравнений:

{x^2 + y = b;

{x^2 + y^2 = 5; {y = b - x^2; (1)

{x^2 + (b - x^2) ^2 = 5. (2)

2. Исследуем уравнение:

x^2 + (b - x^2) ^2 = 5; x^2 + b^2 - 2bx^2 + x^4 = 5; x^4 - (2b - 1) x^2 - (5 - b^2) = 0; D = (2b - 1) ^2 + 4 (5 - b^2); D = - 4b + 21;

Уравнение (2) всегда имеет два решения относительно x^2, если:

- 4b + 21 > 0; 4b < 21; b < 21/4.

3. Относительно x уравнение будет иметь одно или три решения, если один из корней для x^2 равен нулю:

x^4 - (2b - 1) x^2 - (5 - b^2) = 0;

- (5 - b^2) = 0; b^2 = 5; b = ± √5, получим уравнение: x^4 - (2b - 1) x^2 = 0; x^2 (x^2 - 2b + 1) = 0; [x^2 = 0;

[x^2 - 2b + 1 = 0; [x^2 = 0;

[x^2 = 2b - 1;

a) одно решение;

2b - 1 ≤ 0; 2b ≤ 1; b ≤ 1/2; b = - √5;

b) три решения;

2b - 1 > 0; b > 1/2; b = √5.

Ответ:

a) одно решение: b = - √5; b) три решения: b = √5.