Найдите корень уравнения tg (Pi*x/4) = -1. В ответ напишите наибольший отрицательный корень.

Рассмотрим тригонометрическое уравнение tg (π * x / 4) = - 1. По требованию задания решим данное тригонометрическое уравнение и найдём среди корней наибольший отрицательный. Анализ данного уравнения показывает, что его решение может легко вычисляться, если воспользуемся решением следующего простейшего тригонометрического уравнения tgx = - 1. Как известно, это простейшее тригонометрическое уравнение имеет две серии решений. Выпишем их применительно к нашему уравнению: 1) π * x / 4 = - π/4 + 2 * π * n и 2) π * x / 4 = 3 * π/4 + 2 * π * m, где n, m ∈ Z, Z - множество целых чисел. Рассмотрим каждую серию по отдельности. Первая серия решений. Имеем: π * x / 4 = - π/4 + 2 * π * n. Умножая на 4 / π, получим: х = - 1 + 8 * n. По требованию задания, решим неравенство - 1 + 8 * n < 0 при n ∈ Z. Ясно, что 8 * n < 1, откуда n < 1/8. Наибольшее целое n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 0. При n = 0 получаем корень х = - 1 + 8 * 0 = - 1. Вторая серия решений. Имеем: π * x / 4 = 3 * π/4 + 2 * π * m. Умножая на 4 / π, получим: х = 3 + 8 * m. По требованию задания, решим неравенство 3 + 8 * m < 0 при m ∈ Z. Ясно, что 8 * m < - 3, откуда m < - 3/8. Наибольшее целое m, удовлетворяющее этому неравенству, равно - 1. При m = - 1 получаем корень х = 3 + 8 * (-1) = - 5. Сравнивая два решения, х = - 1 и х = - 5, выбираем больший из них, то есть, х = - 1.

Ответ: - 1.