Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x+9/x на отрезке [1/2; 4]

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции y = x + 9/x на отрезке [1/2; 4].

1) Найдем производную функции.

y ' = (x + 9/x) ' = x ' + (9 ' * x - x ' * 9) / x ^ 2 = 1 + (0 * x - 1 * 9) / x ^ 2 = 1 + ( - 9/x ^ 2) = 1 - 9/x ^ 2;

2) Приравняем производную к 0 и получим:

1 - 9/x ^ 2 = 0;

1 = 9/x ^ 2;

x ^ 2 = 9;

x = 3 принадлежит отрезку [1/2; 4];

x = - 3 не принадлежит отрезку [1/2; 4];

3) y (1/2) = 1/2 + 9 / (1/2) = 1/2 + 9 * 2/1 = 1/2 + 9 * 2 = 0,5 + 18 = 18,5;

y (4) = 4 + 9/4 = 4 + 2,25 = 6,25;

y (3) = 3 + 9/3 = 3 + 3 = 6;

Ответ: y max = 18.5 и y min = 6.