Решите систему уравнений х^2+у^2=65 ху=28

Выразим из второго уравнения у: у = 28/х.

Подставим выраженное значение у в первое уравнение:

х^2 + (28/х) ^2 = 65;

х^2 + 784/х^2 - 65 = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(х^4 + 784 - 65 х^2) / х^2 = 0;

(х^4 - 65 х^2 + 784) / х^2 = 0.

х не равно нулю (делить на ноль нельзя), получилось биквадратное уравнение:

х^4 - 65 х^2 + 784 = 0.

Произведем замену, пусть х^2 = а.

а^2 - 65 а + 784 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 65; c = 784;

D = b^2 - 4ac; D = (-65) ^2 - 4 * 1 * 784 = 4225 - 3136 = 1089 (√D = 33);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (65 - 33) / 2 = 32/2 = 16;

а₂ = (65 + 33) / 2 = 98/2 = 49.

Так как х^2 = а, то х^2 = 16; х₁ = 4; х₂ = - 4.

И х^2 = 49; х₃ = 7; х₄ = - 7.

Из выраженного значения у = 28/х найдем все значения у:

у₁ = 28/4 = 7;

у₂ = 28 / (-4) = - 7;

у₃ = 28/7 = 4;

у₄ = 28 / (-7) = - 4.

Ответ: (4; 7), (-4; - 7), (7; 4) и (-7; - 4).