Докажите что квадрат целого числа при делении на пять не дает в остатке три

Любое целое число, записанное в десятичной системе счисления заканчивается на одну из следующих цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Квадрат числа будет заканчиваться на ту же цифру, что и квадрат его последней цифры. Запишем квадраты соответствующих цифр, чтобы перечислить все возможные последние цифры квадратов целых чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Таким образом, квадрат любого целого числа заканчивается на

0, 1, 4, 9, 6, 5.

Кратность числа 5 зависит от последней цифры числа. Число будет давать в остатке 3 при делении на 5, если последняя цифра числа 3 или 8. Этих цифр нет среди возможных последних цифр квадратов целых чисел, поэтому квадраты целых чисел не дают в остатке 3.