Докажите, что при любой расстановке чисел 1,2 ...,10 по кругу найдутся три соседних числа с суммой не менее 18.

Решение:

Предположим обратное, т. е. что существует такое расположение чисел по кругу, что для любых трех соседних чисел их сумма меньше 18.

Тогда выберем число 1, а оставшиеся 9 чисел сгруппируем по 3.

По нашему предположению, сумма чисел в каждой из этих троек должна быть меньше 18. Следовательно сумма всех чисел должна быть меньше, чем 18 * 3 + 1 = 55.

Но сумма всех чисел:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) * 10 / 2 = 55.

Получили противоречие. Что и требовалось доказать.