2^sin3x*2^sin5x=2^sin4x

В задании дано уравнение 2^{sin (3 * x)} * 2^{sin (5 * x)} = 2^{sin (4 * x}). Однако, сопровождающее требование к нему отсутствует. По всей видимости, составители задания хотели решить это уравнение. Анализ данного уравнения показывает, что в нём участвуют наравне с тригонометрическими функциями и степени. При решении уравнения, естественно, воспользуемся свойствами тригонометрических функций и степеней. Как известно, при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются. Следовательно, данное уравнение можно переписать в виде 2^{sin (3 * x) + sin (5 * x)} = 2^{sin (4 * x}). Тогда, sin (3 * x) + sin (5 * x) = sin (4 * x). Решим полученное тригонометрическое уравнение. Перепишем последнее уравнение в виде sin (5 * x) + sin (3 * x) - sin (4 * x) = 0 и к первой разности применим формулу sinα + sinβ = 2 * sin (½ * (α + β)) * cos (½ * (α - β)) (сумма синусов). Имеем: 2 * sin (½ * (5 * x + 3 * x)) * cos (½ * (5 * x - 3 * x)) - sin (4 * x) = 0 или 2 * sin (4 * х) * cosx - sin (4 * x) = 0, откуда sin (4 * х) * (2 * cosx - 1) = 0. Последнее уравнение равносильно совокупности двух простейших тригономеетрических уравнений sin (4 * х) и cosx = ½, которые имеют следующие решения (серии решений) : 4 * х = π * k (откуда х = (π/4) * k), x = π/3 + 2 * π * mи x = - π/3 + 2 * π * n, где k, m и n - целые числа.

Ответ: х = (π/4) * k, x = π/3 + 2 * π * m и x = - π/3 + 2 * π * n, где k, m и n - целые числа.