Составте уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абциссой x=а, если а) f (x) = ctg 2x, a=п/4 б) f (x) = 2tg x/3, a=0

Касательная к графику функции y=f (x) в точке x=а задается уравнением y = f ' (а) * (x - а) + f (а).

а) f (x) = ctg 2x, a = π/4.

Находим производную f' (x):

f' (x) = (ctg 2x) ' = 2 * (-1/sin^2 (2x)) = - 2/sin^2 (2x).

Находим f' (а):

f' (а) = f' (π/4) = - 2/sin^2 (2*π/4) = - 2/sin^2 (2*π/4) = - 2/sin^2 (π/2) = - 2.

Находим f (а):

f (а) = f (π/4) = ctg (2*π/4) = ctg (π/2) = 0.

Записываем уравнение касательной:

y = f ' (π/4) * (x - π/4) + f (π/4) = - 2 (x - π/4) = π/2 - х.

б) f (x) = 2tg (x/3), a = 0.

Находим производную f' (x):

f' (x) = (2tg (x/3)) ' = 2 * (1/3) * (1/cos^2 (x/3)) = 2 / (3cos^2 (x/3)).

Находим f' (а):

f' (а) = f' (0) = 2 / (3cos^2 (0)) = 2/3.

Находим f (а):

f (а) = f (0) = 2tg (0) = 0.

Записываем уравнение касательной:

y = f ' (0) * (x - 0) + f (0) = (2/3) * x.

Ответ:

а) у = π/2 - х;

б) y = (2/3) * x.