В треугольнике авс угол с=120, вс=а, ас=в. найти длину бисекриссы сд

По условию задачи угол ABC = 120 градусов, длина |AC| = b, длина |CB| = a.

Необходимо найти длину биссектрисы CD.

Используем теорему косинусов, чтобы найти длину стороны |AB|:

|AB|^2 = |AC|^2 + |CB|^2 - 2 * |AC| * |CB| * cos (угол ABC) = b^2 + a^2 - 2 * a * b * cos (120) = b^2 + a^2 + a * b.

Используем известное свойство биссектрисы:

|AD| / |DB| = |AC| / |CB|, |AD| / |DB| = b / a.

Т. к. |AD| + |DB| = |AB|, то |DB| * (b / a) + |DB| = |DB| (a + b) / a = |AB|.

Значит, |DB| = |AB| * a / (a + b). Аналогично получаем, |AD| = |AB| * b / (a + b).

Используем теорему косинусов для треугольника ACD:

|AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2 - 2 * |AC| * |CD| * cos (угол ACD) =

b^2 + |CD|^2 - 2 * |AC| * |CD| * cos (60) = b^2 + |CD|^2 - b * |CD|,

(|AB| * b / (a + b)) ^2 = b^2 + |CD|^2 - b * |CD|.

Аналогично используем теорему косинусов для треугольника CDB и получаем:

(|AB| * a / (a + b)) ^2 = a^2 + |CD|^2 - a * |CD|.

Обозначим |CD| = L и |AB| = с и перепишем 2 равенства выше:

1. (c * b / (a + b)) ^2 = b^2 + L^2 - b * L,

2. (c * a / (a + b)) ^2 = a^2 + L^2 - a * L.

Вычтем 1-ое равенство из второго:

(c * a / (a + b)) ^2 - (c * b / (a + b)) ^2 = a^2 + L^2 - a * L - (b^2 + L^2 - b * L),

(c * (a + b) / (a + b)) * (c * (a - b) / (a + b)) = c^2 * (a-b) / (a+b) =

= a^2 - b^2 - L * (a - b) = (a - b) * (a + b - L),

c^2 / (a+b) = a + b - L. А значит,

L = a + b - c^2 / (a+b) = ((a+b) * (a+b) - c^2) / (a+b) =

= ((a+b) * (a+b) - (b^2 + a^2 + a * b)) / (a+b) = a * b / (a+b).

Ответ: a * b / (a+b).