Решить уравнение: 4sin х + 5 cos х = 4

Для решения данного тригонометрического уравнения применим универсальную подстановку;

sin x = 2 tq x/2 / (1 + tq^2 x/2); cos x = (1 - tq^2 x/2) / (1 + tq^2 x/2);

Делаем подстановку в исходное задание:

4 * 2 tq x/2 / (1 + tq^2 x/2) + 5 (1 - tq^2 x/2) / (1 + tq^2 x/2) = 4;

Умножаем обе части уравнения на (1 + tq^2 x/2) при условии не равно нулю;

Одновременно сделаем замену tq x/2 = a;

8 а + 5 * (1 - а^2) = 4 * (1 + а^2);

8 а + 5 - 5 а^2 - 4 - 4 а^2 = 0;

9 а^2 - 8 а - 1 = 0; а 1 2 = (8 + - 10) / 18;

а 1 = 1; а 2 = - 1/9;

tq x/2 =; 1 x/2 = pi/4 + pi n, n э z;

x = pi/2 + 2 pi n, n э z;

tq x/2 = - 1/9; x/2 = arctq ( - 1/9) + pi n, n э z;

x = arctq ( - 2/9) + 2 pi n, n э z.

-