1. Дана арифметическая прогрессия. Известно, что a5+a9=40. Найти a3+a7+a11. 2. Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии на 32 меньше суммы следующих четырех её членов. На сколько сумма первых десяти членов этой прогрессии меньше суммы следующих десяти её членов?

Распишем члены данной арифметической прогрессии:

a₅ = a₁ + 4 d;

a₉ = a₁ + 8 d;

a₅ + a₉ = 2 a₁ + 12 d = 40;

a₁ + 6 d = 20;

Распишем требуемые члены данной арифметической прогрессии:

a₃ = a₁ + 2 d;

a₇ = a₁ + 6 d;

a₁₁ = a₁ + 10 d;

a₃ + a₇ + a₁₁ = 3 a₁ + 18 d = 3 (a₁ + 6 d) = 60.

Так как выражение в скобках равно 20, из вычисленного выше.

Распишем суммы членов данной арифметической прогрессии:

S₄ = 4 (a₁ + a₄) / 2 = 2 (a₁ + a₁ + 3 d) = 4 a₁ + 6 d;

S₈ = 8 (a₁ + a₈) / 2 = 4 (a₁ + a₁ + 7 d) = 8 a₁ + 28 d.

Сумма с 5-го члена прогрессии по 8-й равна:

S_{5, 8} = S₈ - S₄ = 4 a₁ + 22 d;

По условию:

S_{5, 8} - S₄ = 16 d = 32.

d = 2.

Далее найдём следующие нужные по условию суммы членов:

S₁₀ = 10 (a₁ + a₁₀) / 2 = 5 (2 a₁ + 9 d) = 10 a₁ + 90.

S₂₀ = 20 (a₁ + a₂₀) / 2 = 10 (2 a₁ + 19 d) = 20 a₁ + 380.

Сумма с 11-го члена прогрессии по 20-й равна:

S_{11, 20} = S₂₀ - S₁₀ = 10 a₁ + 290;

Разность суммы второго десятка членов с первым десятком членов равна:

S_{11, 20} - S₁₀ = 290 - 90 = 200.