Найдите наибольшее четырёхзначное число, которое при делении на любое однозначное число, кроме 1, даёт в остатке 1.

Искомое четырехзначное число А при делении на

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

дает в остатке 1.

Рассмотрим число А - 1. Оно, очевидно, должно делиться на все цифры.

Заметим, что если число делится на 8, то оно делится и на 2 и на 4.

Если число делится на 9, то оно делится и на 3.

Следовательно,

А - 1 = 8 * 9 * 5 * 7 * n, где n - натуральное число.

Наибольшее четырехзначное число - 9999. Тогда имеем:

А < = 9999,

8 * 9 * 5 * 7 * n + 1 < = 9999,

2520 * n < = 9998,

n < = 9998/2520.

Так как n - натуральное число, то максимальное значение n = 3 и

А = 2520 * 3 + 1 = 7561.

Ответ: 7561.