Найдите корни уравнения sin3x+cos3x=0, принадлежащие отрезку [0; 6]

Рассмотрим тригонометрическое уравнение sin (3 * x) + cos (3 * x) = 0. Анализ данного уравнения показывает, что его левая часть представляет собой частный вид тригонометрического выражения a * sinα + b * cosα, которое после несложных преобразований приводится к виду √ (a² + b²) * sin (α + φ), где φ - угол, значение которого можно определить, используя одного из равенств cosφ = a / √ (a² + b²) или sinφ = b / √ (a² + b²) или же tgφ = b / a. Для нашего выражения a = b = 1, следовательно, tgφ = b / a = 1/1 = 1, откуда φ = π/4. После применения теоретического материала из п. 1, данное уравнение получит слелующий вид 5 * sin (3 * х + π/4) = 0 или sin (3 * х + π/4) = 0. Воспользуемся решением простейшего тригонометрического уравнения sinx = 0, которое можно оформить так: x = π * k, где k ∈ Z, Z - множество целых чисел. Для полученного уравнения, имеем: 3 * х + π/4 = π * k, откуда х = - π/12 + (π/3) * k. Теперь среди найденных решений ищем те, которые принадлежат промежутку [0; 6]. Если таковые имеются, то они должны удовлетворять следующему двойному неравенству 0 ≤ - π/12 + (π/3) * k ≤ 6. Решим полученное двойное неравенство относительно k ∈ Z. Имеем π/12 ≤ π/3 * k ≤ 6 + π/12. Умножая все части на 3/π, получим: ¼ ≤ k ≤ 18/π + ¼. Докажем, что 5,25 < 18/π + ¼ < 6. Сначала докажем левое неравенство, то есть, неравенство 5,25 < 18/π + ¼. Как известно, π < 3,15, откуда 5 * π < 15,75. Используя неравенство 15,75 < 18, перепишем последнее неравенство в виде 5 * π < 18, откуда 5 < 18/π или 5,25 < 18/π + ¼. Теперь докажем правую часть двойного неравенства. Как известно 3,14 < π или 23 * 3,14 < 23 * π, откуда 72,22 < 23 * π. Используя неравенство 72 < 72,22, перепишем последнее неравенство в виде 72 < 24 * π - π или 72 + π < 24 * π. Поделив обе части этого неравенства на 4 * π, получим 18/π + ¼ < 6. Возвращаясь к последнему неравенству из п. 3 и учитывая доказанное двойное неравенство, получим его следующие целые решения: 1; 2; 3; 4 и 5. Следовательно, соответствующими корнями данного уравнения будут: π/4; 7 * π/12; 11 * π/12; 5 * π/4 и 19 * π/12.

Ответ: π/4; 7 * π/12; 11 * π/12; 5 * π/4 и 19 * π/12.