Производная функции f (x) = cos (x/2) в некоторой точке x0 равна 0,25. Найдите f (x0).

Решение:

Найдём производную функции: f (x) = cos (x / 2)

Воспользовавшись формулами:

1) (cos x) ' = - sin x (производная основной элементарной функции)

2) (с*u) ' = с*u', где с - const (основное правило дифференцирования)

3) y = f (g (x)), y' = f'_u (u) * g'_x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования)

И так, найдем производную:

f'' (x) = (cos (x / 2)) ' = (x / 2) ' * (cos (x / 2)) ' = 1 / 2 (-sin (x / 2)) = - 1 / 2 sin (x / 2)

В некоторой точке x₀ f'' (x₀) = 0,25, найдем x₀

0,25 = - 1 / 2 sin (x / 2)

sin (x / 2) = 0,25 * 2

sin (x / 2) = 0,5 = 1 / 2

х / 2 = 2πn + arcsin (1 / 2) = 2πn + π / 6, где n - любое целое число

х / 2 = 2πn - arcsin (1 / 2) + π = 2πn + 5π / 6, где n - любое целое число

Умножим обе части полученных уравнений на 2:

х₁ = 4πn + π / 3

х₂ = 4πn + 5π / 3

Найдем f (x₀):

f (x₁) = cos ((π / 3) / 2) = cos (π / 6) = (√3) / 2

f (x₂) = cos ((5π / 3) / 2) = cos (5π / 6) = - (√3) / 2

Ответ: f (x₁) = (√3) / 2; f (x₂) = - (√3) / 2.