упростите выражение sqrt (b-2 sqrt (b+8) + 9) + sqrt (b+2 sqrt (b+8) + 9)

1) Под каждым из главных корней (радикалов) выразим полный квадрат:

- Первый корень - квадрат разности, х² - 2 ху + у² = (х - у) ²;

- Второй корень - квадрат суммы, х² + 2 ху + у² = (х + у) ²;

Где, х = √ (b + 8), у = 1.

2) Используем свойство квадратного корня: √ (а²) = |a|.

Применим оговоренные свойства и приёмы:

√ (b - 2 • √ (b + 8) + 9) + √ (b + 2 • √ (b + 8) + 9) =

= √ (b + 8 - 2 • √ (b + 8) + 1) + √ (b + 8 + 2 • √ (b + 8) + 1) =

= √ (√ (b + 8) - 1) ² + √ (√ (b + 8) + 1) ² =

= |√ (b + 8) - 1| + |√ (b + 8) + 1|.

Второй модуль раскрывается всегда со знаком плюс, потому что √ (b + 8) + 1 > 0.

Первый модуль имеет два варианта раскрытия:

А) |√ (b + 8) - 1| = √ (b + 8) - 1, если √ (b + 8) ⩾ 1, b ⩾ - 7;

Б) |√ (b + 8) - 1| = - √ (b + 8) + 1, если √ (b + 8) ⩽ 1, - 8 ⩽ b ⩽ - 7.

Таким образом, возможны два ответа:

А) |√ (b + 8) - 1| + |√ (b + 8) + 1| = √ (b + 8) - 1 + √ (b + 8) + 1 = 2√ (b + 8).

Б) |√ (b + 8) - 1| + |√ (b + 8) + 1| = - √ (b + 8) + 1 + √ (b + 8) + 1 = 2.