1. Определить коллинеарны ли векторы p=2a+3b и q=a-b, где a = (-1; 2; 3) и b = (2; 1; 1) ? 2. Даны вершины треугольника А (-1; 2; -2), B (3; 4; -5) и C (1; 1; 0) Найти угол при вершине А.

1)

Координаты векторов p и q:

p = 2a + 3b = (2x_a + 3x_b; 2y_a + 3y_b; 2z_a + 3z_b) =

= (2 * (-1) + 3 * 2; 2 * 2 + 3 * 1; 2 * 3 + 3 * 1) = (4; 7; 9);

q = a - b = a - b = (x_a - x_b; y_a - y_b; z_a - z_b) = (-1-2; 2-1; 3-1) = (-3; 1; 2);

Сравниваем x_p/x_q и y_p/y_q:

x_p/x_q = 4/-3;

y_p/y_q = 7/1.

Отношения x_p/x_q и y_p/y_q не равны.

Ответ: векторы не коллинеарны.

2)

Векторы АВ и AС обозначим как векторы b и с. Координаты векторов равны разности координат начала и конца:

b = (3 - (-1),4-2; -5 - (-2)) = (4; 2; - 3);

c = (1 - (-1); 1-2; 0 - (-2)) = (2; - 1; 2).

Косинус угла между векторами:

cos a = (b_xc_x + b_yc_y + b_zc_z) / √ ((b_x) ^2 + (b_y) ^2 + (b_z) ^2) * √ ((c_x) ^2 + (c_y) ^2 + (c_z) ^2) =

= (4*2 + 2 * (-1) + (-3) * 2) / (√ (4^2 + 2^2 + (-3) ^2) * √ (2^2 + (-1) ^2 + 2^2)) = 0;

а = 90°.

Ответ: а = 90°.