известны уравнения сторон треугольника, х+y=0 2x-y-5=0 3x+y=0. Найти длину высот этого треугольника и их уравнения

1. Пусть:

AB: х + y = 0; BC: 2x - y - 5 = 0; CA: 3x + y = 0.

2. Найдем координаты вершин:

1) A;

{х + y = 0;

{3x + y = 0; {х = 0;

{y = 0; A (0; 0).

2) B;

{х + y = 0;

{2x - y - 5 = 0; {y = - x;

{3x = 5; {y = - 5/3;

{x = 5/3. B (5/3; - 5/3).

3) C;

{2x - y - 5 = 0;

{3x + y = 0; {5x = 5;

{y = - 3x; {x = 1;

{y = - 3; C (1; - 3).

3. Уравнения высот:

1) AM;

A (0; 0); AM ⊥ BC; 2x - y - 5 = 0; y = 2x - 5; k (BC) = 2; k (AM) = - 1/2; y = - 1/2 * x.

2) BN;

B (5/3; - 5/3); BN ⊥ AC; 3x + y = 0; y = - 3x; k (AC) = - 3; k (BN) = 1/3; y = - 5/3 + 1/3 * (x - 5/3) = 1/3 * x - 20/9.

3) CH;

C (1; - 3); AB ⊥ CH; x + y = 0; y = - x; k (AB) = - 1; k (CH) = 1; y = - 3 + x - 1 = x - 4.

4. Основания и длины высот:

1) M;

AM: y = - 1/2 * x; BC: y = 2x - 5; {-1/2 * x = 2x - 5;

{y = - 1/2 * x; {-x = 4x - 10;

{y = - 1/2 * x; {x = 2;

{y = - 1; M (2; - 1); A (0; 0); AM = √ (2^2 + 1^2) = √5.

2) N;

BN: y = 1/3 * x - 20/9; AC: y = - 3x; {1/3 * x - 20/9 = - 3x;

{y = - 3x; {3x - 20 = - 27x;

{y = - 3x; {30x = 20;

{y = - 3x; {x = 2/3;

{y = - 2; N (2/3; - 2); B (5/3; - 5/3); BN = √ (1^2 + (1/3) ^2) = √10/3.

3) H;

CH: y = x - 4; AB: y = - x; {x - 4 = - x;

{y = - x; {x = 2;

{y = - 2; H (2; - 2); C (1; - 3); HC = √ (1^2 + 1^2) = √2.

Ответ:

AM = √5; y = - 1/2 * x; BN = √10/3; y = 1/3 * x - 20/9; HC = √2; y = x - 4.