Вероятность выигрыша по одной облигации трехпроцентного займа равна 0,25. Найти вероятность того, что из 8-ми купленных облигаций выигрышными окажутся: а) три; б) две; в) не менее двух

Решение.

Воспользуемся формулой Бернулли (определение вероятности появления события А ровно m раз (безразлично в каком порядке) с вероятностью p в одном исходе из серии в n экспериментов) для расчета всех вариантов.

p m, n = Cmn * p m * (1 - p) n-m, где

Cmn = n! / (m! * (n - m) !)

а) событие А заключается в том, что из 8-ми облигаций 3 выигрышных и 5 невыигрышных, то есть n = 8, m = 3).

С38 = 8! / (3! * (8 - 3) !) = 40320 / (6 * 120) = 40320 / 720 = 56

p (А) = С38 * р3 * (1 - p) 8-3 = 56 * 0,253 * 0,755 = 56 * 0,016 * 0,237 = 0,212

б) событие Б заключается в том, что из 8-ми облигаций 2 выигрышных и 6 невыигрышных, то есть n = 8, m = 2).

С28 = 8! / (2! * (8 - 2) !) = 40320 / (2 * 720) = 40320 / 1440 = 28

p (Б) = С28 * р2 * (1 - p) 8-2 = 28 * 0,252 * 0,756 = 28 * 0,063 * 0,178 = 0,314

в) событие В заключается в том, чтобы выигрышных облигаций было не менее двух, то есть устроит любой исход, кроме исхода, когда не выиграет ни одна или выиграет одна облигация. Для этого необходимо посчитать вероятности оставшихся событий и затем их сложить. Но лучше воспользуемся формулой вероятности обратного события:

р (В) = 1 - (р (Г) + р (Д)), где

р (Г) - вероятность выигрыша одной облигации,

р (Д) - вероятность проигрыша всех облигаций.

Рассчитаем р (Г):

С18 = 8! / (1! * (8 - 1) !) = 40320 / (1 * 5040) = 40320 / 5040 = 8

p (Г) = С18 * р * (1 - p) 8-1 = 8 * 0,25 * 0,757 = 8 * 0,25 * 0,133 = 0,266

Рассчитаем р (Д):

С08 = 8! / (0! * (8 - 0) !) = 40320 / (1 * 40320) = 40320 / 40320 = 1

p (Д) = С08 * р0 * (1 - p) 8-0 = 1 * 0,250 * 0,758 = 1 * 1 * 0,100 = 0,100

В итоге:

Р (В) = 1 - (0,266 + 0,100) = 1 - 0,366 = 0,634

Ответ: а) 0,212; б) 0,314; в) 0,634.