Число бракованных микросхем на данные 10 схем считается равновозможным от 0 до 2. Наудачу опробованы 5 микросхем, которые оказались исправными. Какова вероятность, что все 10 схем исправны?

Примем гипотезы:

Гипотеза H0 - не имеется бракованных микросхем.

Гипотеза H1 - одна бракованная микросхема из 10.

Гипотеза H2 - две бракованных микросхем из 10.

Вероятности этих гипотез:

P (H1) = 1/3.

P (H2) = 1/3.

P (H3) = 1/3.

Произошло событие А такое, из 5 опробованных микросхем все исправные.

Условные вероятности события A при условии осуществления выдвинутых гипотез:

P (A|H0) = 1;

Если среди 10 схем одна неисправна, то вероятность вынуть из 10 схем 5 исправных равна:

P (A|H1) = С (1,0) · С (9,5) / C (10,5) = 1 · 126 / 252 = 0,5;

С (9,5) = 9! / (5! · (9 - 5) !) = 6 · 7 · 8 · 9 / (1 · 2 · 3 · 4) = 126;

С (10,5) = 10! / (5! · (10 - 5) !) = 6 · 7 · 8 · 9 · 10 / (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 252;

Если среди 10 схем две неисправны, то вероятность вынуть из 10 схем 5 исправных равна:

P (A|H2) = С (2,0) · С (8,5) / C (10,5) = 1 · 56 / 252 = 0,222;

С (8,5) = 8! / (5! · (8 - 5) !) = 6 · 7 · 8 / (1 · 2 · 3) = 56;

По формуле Байеса вероятность гипотезы H0, такой что среди 10 схем нет бракованных после опыта:

P (H0|A) = (P (H0) · P (A|H0)) / (P (H0) · P (A|H0) + P (H1) · P (A|H1) + P (H2) · P (A|H2)) = (1/3 · 1) / ((1/3 · 1) + (1/3 · 0,5) + (1/3 · 0,222)) = 0,333 / 0,573 = 0,581;

Ответ: Вероятность того, что все 10 схем окажутся исправны 0,581.