2cos^2 (2x) + 3sin (4x) + 4sin^2 (2x) = 0

1. По формуле для синуса двойного угла получим:

2cos² (2x) + 3sin (4x) + 4sin² (2x) = 0; 2cos² (2x) + 6sin2x * cos2x + 4sin² (2x) = 0; cos² (2x) + 3sin2x * cos2x + 2sin² (2x) = 0.

2. Разделим обе части уравнения на sin² (2x) и решим его относительно ctgx:

ctg² (2x) + 3ctg2x + 2 = 0. D = 3² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1; ctgx = (-3 ± √1) / (2 * 1) = (-3 ± 1) / 2;

1) ctgx = (-3 - 1) / 2 = - 4/2 = - 2;

x = - arcctg2 + πk, k ∈ Z;

2) ctgx = (-3 + 1) / 2 = - 2/2 = - 1;

x = - π/4 + πk, k ∈ Z.

Ответ: - arcctg2 + πk; - π/4 + πk, k ∈ Z.