2 cos^2 3x - 5 cos 3x - 3 = 0

Требуется решить уравнение 2cos^2 (3x) - 5cos (3x) - 3 = 0.

Введем подстановку t = cos (3x), где |t| меньше или равен 1, т. к. функция cosx является ограниченной снизу - 1, сверху + 1.

Тогда исходное уравнение перепишется следующим образом:

2t^2 - 5t - 3 = 0.

Сейчас перед нами обыкновенное квадратное уравнение. Находим дискриминант и корни, если они будут.

D = b^2 - 4ac,

D = 25 + 24 = 49,

D>0 и значит уравнение имеет два корня.

t1 = (-b - корень из D) / (2a),

t1 = (5 - 7) / 4 = - 1/2;

t2 = (-b + корень из D) / (2a),

t1 = (5 + 7) / 4 = 3;

Вернемся к подстановке t = cos (3x):

1) cos (3x) = - 1/2,

3x = ± (2pi) / 3 + 2pi*k, где k - целое число;

x = ± (2pi) / 9 + (2pi*k) / 3, где k - целое число.

2) cos (3x) ≠ 3, т. к. |t| ≤ 1.

Ответ: x = ± (2pi) / 9 + (2pi*k) / 3, где k - целое число.