Докажите неравенство 2 а/1+а^2<=1

Заметим, что

(a - 1) ^2 > = 0, для любого значения a.

Проведём преобразования Лёвой части неравенства:

a^2 + 1 - 2 * a > = 0,

1 + a^2 > = 2 * a.

Так как 1 + a^2 > = 1 при любом значении a, то значение 1 + a^2 положительно при любом значении a.

Следовательно, мы можем разделить обе части последнего неравенства на 1 + a^2:

(1 + a^2) / (1 + a^2) > = 2 * a / (1 + a^2),

2 * a / (1 + a^2) < = 1, что и требовалось доказать.