Нужно найти производную y = (x²+3x) / (x-1)

y = (x^2 + 3x) / (x - 1) - найдем производную данной функции по формуле нахождения производной частного (uv) ' = (u'v - uv') / (v^2), где u = x^2 + 3x, v = x - 1;

y' = ((x^2 + 3x) ' (x - 1) - (x^2 + 3x) (x - 1) ') / ((x - 1) ^2) - здесь найдем производные по формуле производной суммы (u + v) ' = u' + v';

y' = ((2x + 3) (x - 1) - (x^2 + 3x) * 1) / ((x - 1) ^2) - в числителе раскроем скобки; первые две - умножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки; вторую - если перед скобкой стоит знак минус, мы убираем скобку и этот минус, а каждое слагаемое из скобки записываем с противоположным знаком;

y' = (2x^2 - 2x + 3x - 3 - x^2 - 3x) / ((x - 1) ^2) = (x^2 - 2x - 3) / ((x - 1) ^2).

Можно числитель разложить на множители по формуле ax^2 + bx + c = (a (x - x1) (x - x2). Для нашего трехчлена x^2 - 2x - 3 корни равны x1 = 3, x2 = - 1.

x^2 - 2x - 3 = (x - 3) (x + 1);

тогда y' = ((x - 3) (x + 1)) / ((x - 1) ^2).

Ответ. y' = (x^2 - 2x - 3) / ((x - 1) ^2) или y' = ((x - 3) (x + 1)) / ((x - 1) ^2).