Вычислить площадь треугольника с вершинами А (1; 3; 6) В (2; 2; 1) С (-1; 0; 1)

Question

Даниил Фирсов

Математика

7 августа, 12:28

Вычислить площадь треугольника с вершинами А (1; 3; 6) В (2; 2; 1) С (-1; 0; 1)

+2

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Александр Хомяков · Answer 1

1. Найдем сторону AB:

А (1; 3; 6); В (2; 2; 1); С (-1; 0; 1); AB = √ ((2 - 1) ^2 + (2 - 3) ^2 + (1 - 6) ^2) = √ (1 + 1 + 25) = √27.

2. Найдем высоту CH:

1) Уравнение AB:

(x - xB) / (xA - xB) = (y - yB) / (yA - yB) = (z - zB) / (zA - zB); (x - 2) / (1 - 2) = (y - 2) / (3 - 2) = (z - 1) / (6 - 1); - (x - 2) = (y - 2) = (z - 1) / 5, отсюда: - x + 2 = y - 2; x = 4 - y; (1) z = 5 (y - 2) + 1; z = 5y - 9. (2)

2) Расстояние от точки С (-1; 0; 1) до точки M (x, y, z), лежащей на прямой AB:

CM^2 = (x + 1) ^2 + y^2 + (z - 1) ^2; CM^2 = (4 - y + 1) ^2 + y^2 + (5y - 9 - 1) ^2; CM^2 = (y - 5) ^2 + y^2 + (5y - 10) ^2; CM^2 = y^2 - 10y + 25 + y^2 + 25y^2 - 100y + 100; CM^2 = 27y^2 - 110y + 125; D = 110^2 - 4 * 27 * 125 = 12100 - 13500 = - 1400.

3) Высота CH равна наименьшему значению CM:

CH^2 = - D/4a = 1400 / (4 * 27); CH = √ (1400 / (4 * 27)) = 5√14/√27.

3. Площадь треугольника:

S = 1/2 * AB * CH; S = 1/2 * √27 * 5√14/√27 = 2,5√14.

Ответ: 2,5√14.