Решите неравенство: (x^2-3x+1) (x^2-3x-3) ≥5

(x² - 3x + 1) (x² - 3x - 3) ≥ 5.

Пусть x² - 3x = а.

Получается неравенство:

(а + 1) (а - 3) ≥ 5.

а² + а - 3 а - 3 - 5 ≥ 0.

а² - 2 а - 8 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = а² - 2 а - 8, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0;

а² - 2 а - 8 = 0.

D = 4 + 32 = 36 (√D = 6);

а₁ = (2 - 6) / 2 = - 2.

а₂ = (2 + 6) / 2 = 8/2 = 4.

Отмечаем на прямой точки - 10 и 12. Рисуем параболу через эти точки (ветви вверх). Знак неравенства ≥ 0, решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой. То есть а принадлежит промежуткам (-∞; - 2] и [4; + ∞).

Возвращаемся к замене x² - 3x = а.

1) а ≤ - 2;

x² - 3x ≤ - 2.

x² - 3x + 2 ≤ 0.

Находим нули функции у = x² - 3x + 2 (кв. парабола, ветви вверх).

D = 9 - 8 = 1 (√D = 1).

х₁ = (3 - 1) / 2 = 2/2 = 1.

х₂ = (3 + 1) / 2 = 4/2 = 2.

Знак неравенства ≤ 0, решение неравенства: [1; 2].

2) а ≥ 4.

x² - 3x ≥ 4.

x² - 3x - 4 ≥ 0.

Найдем нули функции у = x² - 3x - 4 (кв. парабола, ветви вверх).

x² - 3x - 4 = 0.

D = 9 + 16 = 25 (√D = 5);

х₁ = (3 - 5) / 2 = - 2/2 = - 1.

х₂ = (3 + 5) / 2 = 8/2 = 4.

Знак неравенства ≥ 0, решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; - 1] и [4; + ∞).

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; - 1], [1; 2] и [4; + ∞).