Докажите неравенство, используя выделения квадрата двучлена. a^2 - 8a + 19 >0

Как и рекомендовано в задании, для доказательства неравенства выделим полный квадрат в исходном выражении.

а^2 - 8 * а + 19 > 0; а^2 - 2 * (4 * а) + 19 = [а^2 - 2 * (4 * а) + (4) ^2] - (4) ^2 + 19 = (а + 4) ^2 - 16 + 19 = (а + 4) ^2 + 3.

В результате всех преобразований мы получили выражение в квадрате, которое больше нуля при любом значении параметра а, в сумме с числом 3, и в общем вся эта сумма больше нуля. Что можно записать математически так:

[ (а + 4) ^2 + 3] > 0, так как (а + 4) ^2 > 0 и 3 > 0. Неравенство доказано.