Разложите многочлен на множители, используя метод выделения полного квадрата двучлена 4 а²-12 аb+5b² 9c²-24cd+7d² 25a²-20ab-12b² 9m²-30mk+16k²

Решение:

Раскладывать выражения на множители будем по такому алгоритму:

Одновременно добавим и отнимем слагаемые (чтобы значение выражения не изменилось), необходимые для преобразования в квадрат суммы или разности: "Свернём" часть выражения по формулам (а + b) ² = (а² + 2ab + b²) или (а - b) ² = (а² - 2ab + b²). Разложим на множители с помощью формулы разности квадратов а² - b² = (a - b) (а + b):

а). 4 а² - 12 аb + 5b² = (2 а) ² - 2 ∙ 2 ∙ 3 аb + 5b² + 4b² - 4b² = (2 а) ² - 2 ∙ 2 ∙3 аb + 9b² - 4b² = [ (2 а) ² - 2 ∙ 2 ∙3 аb + (3b) ²] - 4b² = (2 а - 3b) ² - (2b) ² = (2 а - 3b - 2b) (2 а - 3b + 2b) = (2 а - 5b) (2 а - b).

б). 9c² - 24cd + 7d² = (3c) ² - 2 ∙ 3 ∙ 4cd + 7d² + 9d² - 9d² = [ (3c) ² - 2 ∙ 3 ∙ 4cd + (4d) ²] - 9d² = (3c - 4d) ² - (3d) ² = (3c - 4d - 3d) (3c - 4d + 3d) = (3c - 7d) (3c - 4).

в). 25a² - 20ab - 12b² = (5a) ² - 2 ∙ 2 ∙ 5ab + 4b² - 4b² - 12b² = [ (5a) ² - 2 ∙ 2 ∙ 5ab + (2b) ²] - 16b² = (5a - 2b) ² - (4b) ² = (5a - 2b - 4b) (5a - 2b + 4b) = (5a - 6b) (5a + 2b).

г). 9m² - 30mk + 16k² = (3m) ² - 2 ∙ 3 ∙ 5mk + 16k² + 9k² - 9k² = [ (3m) ² - 2 ∙ 3 ∙ 5mk + (5k) ²] - 9k² = (3m - 5k) ² - (3k) ² = (3m - 5k - 3k) (3m - 5k - 3k) = (3m - 8k) (3m - 2k).

Ответ: а). 4 а² - 12 аb + 5b² = (2 а - 5b) (2 а - b); б). 9c² - 24cd + 7d² = (3c - 7d) (3c - 4); 25a² - 20ab - 12b² = (5a - 6b) (5a + 2b); г). 9m² - 30mk + 16k² = (3m - 8k) (3m - 2k).