Из проволки длиной 48 см сделали модель прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. При каких размерах объем паралепипеди будет наибольимм?

Пусть у параллелепипеда имеется квадратное основание со стороной b, а другая сторона равна а, тогда длина проволоки будет:

L = 2 * 2 * (b + b) + 4 * a = 4 * (4 * b + a) = 48,

4 * b + a = 12,

a = 12 - 4 * b.

Объём параллелепипеда вычислим по формуле:

V = a * b² = (12 - 4 * b) * b² = 12 * b² - 4 * b³.

Требуется найти максимум функции V (b).

Найдём её производную, получим:

V' (b) = 24 * b - 12 * b².

Корни производной равны:

b = 0,

b = 2.

Т. к. график производной - парабола и ветви направлены вниз, то в точке b = 2 имеем максимум функции V (b).

Следовательно, V (2) = 16 см³.

а = 12 - 4 * b = 4 см,

b = 2 см.