Найти корни уравнения. x^4+12x^3+2x^2-12x+1=0

Сгруппируем первое, третье и пятое слагаемые, и сгруппируем второе и четвертое слагаемые.

(х^4 - 2 х^2 + 1) + (12 х^3 - 12 х) = 0.

1) Выражение в первой скобке разложим на множители по формуле ax^2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2), где х1 и х2 корни квадратного трехчлена.

х^4 - 2 х^2 + 1 = 0.

Введём новую переменную х^2 = у.

у^2 - 2 у + 1 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-2) ^2 - 4 * 1 * 1 = 0.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.

х = - b / (2a);

y1,2 = 2/2 = 1;

у^2 - 2 у + 1 = (у - 1) ^2.

Выполним обратную подстановку х^4 - 2 х^2 + 1 = (х^2 - 1) ^2.

2) Из второй скобки вынесем общий множитель 12 х.

(х^2 - 1) ^2 + 12 х (х^2 - 1) = 0.

Вынесем за скобку общий множитель (х^2 - 1).

(х^2 - 1) (х^2 - 1 + 12 х) = 0.

Произведение двух множителей равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю.

1) х^2 - 1 = 0;

х^2 = 1;

х1 = 1; х2 = - 1.

2) х^2 + 12 х - 1 = 0;

D = 12^2 - 4 * 1 * (-1) = 144 + 4 = 148; √D = √148 = 2√37;

x3,4 = (-12 ± 2√37) / 2 = - 6 ± √37.

Ответ. 1; - 1; - 6 + √36; - 6 - √37.