Дано уравнение х^3-3 х^2-6 х-b=0 Решите это уравнение, если его корни образуют геометрическую прогрессию. При каких b это возможно?

1. Сгруппируем слагаемые уравнения:

X³ - 3 * X² - 6 * X - b = (X³ - b) - (3 * X² + 6 * X) =

(X³ - b) - 3 * X * (X + 2) = 0;

2. Есть намек на первый корень:

X + 2 = 0;

X1 = - 2;

3. Вычислим b:

b = (X1) ³ = (-2) ³ = - 8;

X³ - (-8) = X³ + 8 = (X + 2) * (X² - 2 * X + 4);

4. Исходное уравнение:

(X + 2) * (X² - 2 * X + 4) - 3 * X * (X + 2) =

(X + 2) * (X² - 2 * X + 4 - 3 * X) = (X + 2) * (X² - 4 * X - X + 4) =

(X + 2) * (X * (X - 4) - (X - 4)) =

(X + 2) * (X - 4) * (X - 1) = 0;

5. Нумеруем корни по возрастанию их модуля |X|;

X1 = 1, X2 = - 2, X3 = 4; b = - 2;

6. Проверяем отношение:

X2 / X1 = X3 / X2;

(-2) / 1 = 4 / (-2) = - 2;

7. Таким образом, при b = - 2 корни уравнения образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = - 2.

Ответ: X1 = 1, X2 = - 2, X3 = 4.