Пользуясь определением найдите производную функции y=х (^1/3) В ТОЧКЕ в точке x0=-8

Данная функции у = х^ (1/3) - степенная. Используем правило нахождения производной степенной функции:

(х^n) ' = n * х^ (n - 1).

В нашем случае n = 1/3.

Тогда:

у' = (х^ (1/3)) ' = 1/3 * х^ (1/3 - 1) * х'.

Так как х' = 1, то:

1/3 * х^ (1/3 - 1) * х' = 1/3 * х^ (1/3 - 3/3) = 1/3 * х^ (-2/3).

Используем свойство степени:

х^ (-n) = 1 / х^n, получим:

1/3 * х^ (-2/3) = 1 / (3 * х^ (2/3)).

То есть:

у' = 1 / (3 * х^ (2/3)).

Теперь найдем значение производной в заданной точке:

хо = - 8.

у' (хо) = у' (-8) = 1 / (3 * (-8) ^ (2/3)) = 1 / (3 * 64^ (1/3)) = 1 / (3*4) = 1/12.

Ответ: у' (-8) = 1/12.