В геометрической прогрессии известно, что a3=2, a7=32. Найдите четвёртый член прогрессии.

Запишем формулу n-го члена геометрической прогрессии.

a_n = a₁ * q^n-1, где q - знаменатель прогрессии.

Согласно формуле a₃ = a₁ * q^3-1=a₁ * q² и a₇ = a₁ * q^7-1=a₁ * q⁶.

Подставим значения из условия a₁ * q² = 2 и a₁ * q⁶ = 32.

Выразим a₁ в двух равенствам, приравняем их и найдем значение знаменателя прогрессии.

a₁ = 2 / q² и a₁ = 32 / q⁶.

2 / q² = 32 / q⁶.

Решаем уравнение методом пропорции при q ≠ 0.

2q⁶ = 32q²_,

q₁ = - 2 и q₂ = 2.

Находим четвертый член прогрессии путем умножения третьего члена на знаменатель.

a₄ = 2 * ( - 2) = - 4 или a₄ = 2 * 2 = 4.

Ответ: - 4 или 4.