как можно письменно доказать возрастание или убывание функции y = 1/x

Функция считается возрастающей, когда большему значению аргумента (х) соответствует большее значение функции (у). А убывающая функция тогда, когда большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

График функции состоит из двух частей, разделенных осью Оу, так как х не может быть равен нулю. То есть область определения функции (-∞; 0) ⋃ (0; + ∞).

Возьмем два значения аргумента х1 = 1 и х2 = 0,5 из промежутка (0; + ∞) и подставив из в формулу y = 1/x, посмотрим какие значения у будут им соответствовать.

При х1 = 1, у1 = 1 / 1 = 1.

При х2 = 0,5, у2 = 1 / 0,5 = 2.

Таким образом, большему значению х1 = 1 соответствует меньшее значение у1 = 1, значит функция убывающая при х > 0.

Возьмем два значения аргумента х1 = - 1 и х2 = - 0,5 из промежутка (-∞; 0) и подставив из в формулу y = 1/x, посмотрим какие значения у будут им соответствовать.

При х1 = - 1, у1 = 1 / (-1) = - 1.

При х2 = - 0,5, у2 = 1 / (-0,5) = - 2.

Таким образом, большему значению х2 = - 0,5 соответствует меньшее значение у2 = - 2, значит функция убывающая при х < 0.

Таким образом, функция у = 1/х убывает на всей области определения.