1. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцииf (x) = 4x^2-12x2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезкеf (x) = 0,8x^5-4x^3[-1; 2]

Найдём экстремумы функции:

f ' (x) = (4 x² - 12 x) ' = 8 x - 12 = 0;

x = 3/2 т очка экстремума. f (3/2) = 9 - 18 = - 9.

Вторая производная

f '' (x) = (8 x - 12) ' = 8 > 0.

Следовательно, функция выпуклая вниз и не имеет точек перегиба.

В точке х = 3/2 функция достигает своего минимума равного - 9.

Слева и справа от точки минимума функция неограниченно и

монотонно возрастает до бесконечности.

Найдём значение функции на концах интервала:

f ( - 1) = - 0,8 + 4 = 3,2;

f (2) = 25,6 - 32 = - 6,4;

f ' (x) = (0,8 x⁵ - 4 x³) ' = 4 x⁴ - 12 x ² = 4 x² (x² - 3) = 0.

Стационарные точки:

x₁ = 0

x₂ = √3;

x₃ = - √3;

Точка x₃ = - √3 не входит в заданный интервал для х.

Вторая производная

f '' (x) = (4 x⁴ - 12 x ²) ' = 16 x³ - 24 x = 8 x (2 x² - 3).

f '' (√3) = 24 √3 > 0;

Следовательно, точка х = √3 точка локального минимума, а

функция в этой точке выпуклая вниз.

f_min (√3) = 4,8 √3 ≈ - 8,3.

Значение функции в стационарноё точке х = 0 равно 0.

Следовательно, максимальное значение функции на заданном

интервале лежит на левом конце интервала:

f_max ( - 1) = 3,2.