F (x) = (2x+3) |2-x|. Найти область значения, определения. Возрастание и убывание функции. Нули функции. Точки экстремума. 2-х под модулем!

Область определения функции (-∞, + ∞), потому что для любых значений переменной допустимы существующие операции. Область значений также будет вся числовая прямая.

Для нахождения нулей функция решим уравнение (2x + 3) * |2 - x| = 0. Корнями этого уравнения видно будут значения: x₁ = - 3/2; x₂ = 2.

Функция f (x) = (2x + 3) * |2 - x| будет иметь два вида.

При x ≤ 2: а) f (x) = (2x + 3) (2 - x) = 4x + 6 - 2x² - 3x = - 2x² + x + 6,

и при x > 2: б) f (x) = (2x + 3) (x - 2) = 2x² + 3x - 4x - 6 = 2x² - x - 6.

Исследуем функцию на монотонность в обеих случаях. Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную и критические точки.

а). При x ≤ 2, f ' (x) = (-2x² + x + 6) ' = - 4x + 1 = 0; x₁ = 1/4;

Находим значение функции в критической точке:

f (1/4) = (1/2 + 3) (2 - 1/4) = 7/2 * 7/4 = 49/8 = 6,125.

При x 0, функция возрастает. При 1/4 < x ≤ 2, f' (x) < 0, функция убывает.

Это точка максимума.

б). При x > 2: f ' (x) = 4x - 1 = 0; x₂ = 1/4 2 экстремумов нет.

Функция всюду возрастает.