Найдите наибольшее значение функции у=10cos^2-6sincos+2sin^2

1. Преобразуем функцию:

у = 10cos^2x - 6sinx * cosx + 2sin^2x; у = (3cosx - sinx) ^2 + 1; у = (√10 (3/√10 * cosx - 1/√10 * sinx)) ^2 + 1; у = 10 (3/√10 * cosx - 1/√10 * sinx) ^2 + 1.

2. Пусть:

φ = arccos (3/√10).

Тогда:

cosφ = 3/√10; sinφ = 1/√10.

Получим функцию:

у = 10 (cosφ * cosx - sinφ * sinx) ^2 + 1; у = 10cos^2 (x + φ) + 1.

3. Для функции косинус верно неравенство:

cos (x + φ) ≤ 1, отсюда: cos^2 (x + φ) ≤ 1; 10cos^2 (x + φ) ≤ 10; 10cos^2 (x + φ) + 1 ≤ 11; y ≤ 11.

Наибольшее значение функции: 11.

Ответ: 11.