Доказать что при всех значениях x выражение x2-10x+32 принимает только положительные значения

1. Первый способ. Выделим полный квадрат двучлена:

f (x) = x^2 - 10x + 32; f (x) = x^2 - 10x + 25 + 7; f (x) = (x - 5) ^2 + 7.

Квадрат любого действительного числа неотрицательное число, следовательно:

(x - 5) ^2 ≥ 0; (x - 5) ^2 + 7 > 0; f (x) > 0.

2. Второй способ. Исследуем квадратный трехчлен:

f (x) = x^2 - 10x + 32; D = b^2 - 4ac; D = 10^2 - 4 * 32 = 100 - 128 = - 28 < 0.

Дискриминант меньше нуля, значит, трехчлен не имеет корней. Но так как первый коэффициент больше нуля, то график функции полностью расположен выше оси абсцисс, что означает, что функция принимает только положительные значения.

Что и требовалось доказать.