решите уравнения: 1) sin x sin 11x - sin 3x sin 9x = 0

Воспользуемся формулой умножения синусов:

sin x * sin 11x = 1/2 * [cos (11x - x) - cos (11x + x) ] = 1/2 * (cos 10x - cos 12x);

sin 3x * sin 9x = 1/2 * [cos (9x - 3x) - cos (9x + 3x) ] = 1/2 * (cos 6x - cos 12x);

Следовательно, уравнение sin x * sin 11x - sin 3x * sin 9x = 0 равносильно:

1/2 * (cos 10x - cos 12x) - 1/2 * (cos 6x - cos 12x) = 0, то есть:

cos 10x - cos 6x = 0.

Воспользовавшись формулой разности косинусов получим равносильное уравнение:

-2 * sin [ (10x + 6x) / 2] * sin [ (10x - 6x) / 2] = 0. То есть:

sin 8x * sin 2x = 0.

Тогда sin 8x = 0 или sin 2x = 0.

Отсюда: x = (пи * n) / 8 или x = (пи * n) / 2, где n - целое.

Второе решение входит в первое, следовательно, x = пи/8 * n, n ∈ Z.

Ответ: x = пи/8 * n, n ∈ Z.