Точка О является центром правильного треугольника со стороной 18 см. Найдите радиус описанной окружности.

Соединим точку О (центр окружности) и точку А, лежащую на окружности. Проведем из точки О высоту ОН на сторону АВ треугольника.

Рассмотрим треугольник АОН. Так как треугольник правильный, то сторона АН равна половине стороны АВ, т. е.

АН = АВ / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Так как треугольник АВС правильный, то АО является биссектрисой угла ВАС, поэтому угол ОАН равен половине угла ВАС, равного 60 градусам, т. е.

∠ОАН = ∠ВАС / 2 = 60 / 2 = 30°.

Таким образом прямоугольный треугольник АОН имеет один из углов 30°, поэтому катет ОН равен половине гипотенузы ОА. Учитывая, что ОА = R (радиус окружности), имеем:

ОН = ОА / 2 = R / 2.

По теореме Пифагора имеем:

OA^2 = OH^2 + AH^2,

или

R^2 = (R / 2) ^2 + AH^2;

3/4 * R^2 = AH^2,

откуда радиус окружности равен

R = AH * 2 / sqrt (3) = 6 * 2 / sqrt (3) = 4 * sqrt (3) см.