1.2cos^2 2x+5sin2x-4=0, и нужно выбрать решения для промежутка:[п/2; 3 п/2} 2.5cos2x+7cos (x-3 п/2) + 1=0, при cos< или=0

1. Известно, что cos²x = 1 - sin²2x, поэтому сделаем замену.

2 (1 - sin²2x) + 5sin2x - 4 = 0, раскроем скобки и приведем подобные члены:

2 - 2sin² (2x) + 5sin2x - 4 = 0 → 2sin² (2x) - 5sin2x + 2 = 0. Теперь сделаем замену sin2x = t.

2t² - 5t + 2 = 0, решаем квадратное уравнение:

D = 25 - 24 = 1, t_1,2 = (5 ± 1) / 4, t₁ = (5 + 1) / 4 = 3/2, t₂ = (5 - 1) / 4 = 1.

Так как | sinx |≤1, то первый корень отпадает, возьмем второй корень:

t = 1. → sin2x = 1 → 2x = П/2 + Пk, → x = П/4 + П/2k.

При k = 2, x = П/4 + П/2 * 2 = П/4 + П = 5 П/4 принадлежит интервалу [п/2; 3 п/2}.

Ответ: x = 5 П/4.

2. Используем формулу: cos2x = cos²x - sin²x,

5 (cos²x - sin²x) + 7cos (3 П/2 - x) + 1 = 0

5 - 10sin²x - 7sinx + 1 = 0 → 10sin²x + 7sinx - 6 = 0. Теперь сделаем замену sinx = t.

10t² + 7t - 6 = 0, решаем квадратное уравнение:

D = 49 + 240 = 289 = 17, t_1,2 = (-7 ± 17) / 20, t₁ = (-7 + 17) / 20 = 1/2, t₂ = (-7 - 17) / 20 = 1,2.

Так как | sinx |≤1, то второй корень отпадает, возьмем только первый корень:

sinx = 1/2 → x = 5 п/6 + 2 Пk.

Ответ: 5 п/6 + 2 Пk.