Найдите длину отрезка прямой 3x-4y-12=0 заключенного в нутри элепса 9x^2+16y^2=144

1. Найдем координаты точек пересечения прямой с эллипсом, решив систему уравнений:

{3x - 4y - 12 = 0;

{9x^2 + 16y^2 = 144; {3x - 4y - 12 = 0;

{ (3x) ^2 + (4y) ^2 = 144.

2. Обозначим:

3x = p; 4y = q; {p - q - 12 = 0;

{p^2 + q^2 = 144; {p - q = 12;

{ (p - q) ^2 + 2pq = 144; {p - q = 12;

{12^2 + 2pq = 144; {p - q = 12;

{2pq = 0;

a) p = 0;

p - q = 12; 0 - q = 12; q = - 12; x1 = p/3 = 0; y1 = q/4 = - 12/4 = - 3;

(x1; y1) = (0; - 3);

b) q = 0;

p - q = 12; p - 0 = 12; p = 12. x2 = p/3 = 12/3 = 4; y2 = q/4 = 0/4 = 0;

(x2; y2) = (4; 0).

3. Расстояние между точками (x1; y1) и (x2; y2):

d = √ ((x2 - x1) ^2 + (y2 - y1) ^2); d = √ ((4 - 0) ^2 + (0 + 3) ^2) = √ (4^2 + 3^2) = √ (16 + 9) = √25 = 5.

Ответ: 5.