Найти частную производную Δz/Δx функции двух переменных z=tg (y^2/x)

Воспользуемся правилом вычисления производной сложной функции (f (g (x))) ' = (f (g (x)) ' ⋅ (g (x)) '.

Так как требуется найти частную производную по x, y при вычислении выполняет роль константы.

Δz = Δ (tg (y² / x)) = Δ (tg (y² / x)) = (1 / cos² (y² / x)) ⋅ Δ (y² / x) =

= (1 / cos² (y² / x)) ⋅ ((-1) ⋅ y² / x²) ⋅ Δx = - y² / (x² ⋅ cos² (y² / x)) ⋅ Δx.

Отсюда: Δz / Δx = - y² / (x² ⋅ cos² (y² / x)).