Найти промежутки убывания функции y = x^3+9*x^2+21*x

Чтобы найти промежутки возрастания (убывания) функции, нужно найти нули производной функции.

Найдем производную функции:

f (x) = x^3 + 9x^2 + 21x;

f' (x) = 3 х^2 + 18x + 21.

Найдем нули производной:

f' (x) = 0; 3 х^2 + 18x + 21 = 0.

Поделим уравнение на 3: х^2 + 6x + 7 = 0. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант.

D = 36 - 4 * 7 = 36 - 28 = 8 (√D = 2√2).

х₁ = (-6 - 2√2) / 2 = - 3 - √2 (~-4,2);

х₂ = - 3 + √2 (~-1,8).

Определим знаки производной на каждом промежутке:

(-~; - 3 - √2) пусть х = - 5; (-5) ^2 + 6 * (-5) + 7 = 25 - 30 + 7 = 2, знак (+), функция возрастает;

(-3 - √2; - 3 + √2), пусть х = - 2; (-2) ^2 + 6 * (-2) + 7 = 4 - 12 + 7 = - 1, знак (-), функция убывает;

(-3 + √2; + ~), пусть х = 0; 0^2 + 6 * 0 + 7 = 7, знак (+), функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке (-3 - √2; - 3 + √2).