Найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрессии (bn), если: b3=9; b5=1

Сперва найдем первый член b1 и знаменатель q данной геометрической прогрессии. Для этого воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии bn = b1*q^ (n-1). По условию задачи, b3=9, b5=1. Значит, можем записать:

b1*q^ (3-1) = 9

b1*q^ (5-1) = 1

или

b1*q^2 = 9

b1*q^4 = 1

Представим второе уравнение полученной системы уравнений в виде:

(b1*q^2) * q^2 = 1

Поскольку b1*q^2 = 9, можем записать:

9*q^2 = 1.

Решаем данное уравнение:

q^2 = 1/9

Данное уравнение имеет два корня q1 = 1/3 и q1 = - 1/3.

Теперь, используя соотношение b1*q^2 = 9, находим b1:

b1 = 9/q^2

При q = 1/3:

b1 = 9 / (1/3) ^2 = 9 / (1/9) = 81

При q = - 1/3:

b1 = 9 / (-1/3) ^2 = 9 / (1/9) = 81

Теперь находим сумму первых 5 членов данной геометрической прогрессии. Воспользуемся для этого формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 * (1-q^n) / (1-q) при n = 5.

При q = 1/3:

S5 = b1 * (1-q^5) / (1-q) = 81 * (1 - (1/3) ^5) / (1-1/3) = 81 * (1-1/243) / (1-1/3) = 81 * (242/243) / (2/3) = 81 * (242/243) * (3/2) = 121

При q = - 1/3:

S5 = b1 * (1-q^5) / (1-q) = 81 * (1 - (-1/3) ^5) / (1+1/3) = 81 * (1+1/243) / (1+1/3) = 81 * (244/243) / (4/3) = 81 * (244/243) * (3/4) = 61

Ответ:

сумма 5 первых членов геометрической прогрессии равна 121, когда знаменатель данной прогрессии равен 1/3;

сумма 5 первых членов геометрической прогрессии равна 61, когда знаменатель данной прогрессии равен - 1/3;