Найти производные функций: а) у = (х+1) arctg√x; б) 1-√х/1+√х; в) х=ln (cost), y=sin²t

а) Используем формулы для произведения двух функций и производной сложной функции:

y' = (x + 1) ' * arctg (√x) + (x + 1) * (arctg (√x)) ' = arctg (√x) + (x + 1) * (1 / (1 + x^2) * (√x) ' = arctg (√x) + (x + 1) * (1 / 2√x * (x + x^2).

б) Задействовав формулу для частного двух функций, получим:

y' = ((1 - √x) / (1 + √x)) ' = (1 - √x) ' * (1 + √x) - (1 - √x) * (1 + √x) ' / (1 + √x) ^2 = (1 - 1/2√x) * (1 + √x) - (1 - √x) * (1 + 1/2√x) / (1 + √x) ^2.

в) x' = (ln (cos (t)) ' = 1/cos (t) * (-sin (t) = - tg (t)

y = (sin^2 (t)) = 2sin (t) * cos (t) = sin (2t).